- 图灵机有什么意义_学习图灵机模型中遇到的问题

#e#

图灵机虽然强大，但是不停机的缺陷是人们万万不想要的。然而这缺陷是天生的，原因是„„图灵赋予图灵机两个无限： 1）图灵机能在输入字符串上左右移动，步骤无限，时间无限。 2）图灵机有一条无限长的带子，供读写头在上面活动，空间无限。 有穷状态机和下推自动机这两种更简单能力更弱的机器只能看到极其有限的历史，它们的读写头只能在输入字符串上单向移动，所以肯定会停机。而图灵机的读写头却可以在输入串上左右移动„„一旦拥有这个能力，图灵机可以看到更多的历史，同时就必须承担这种能力带来的风险——无限循环。另一方面，图灵机拥有无限长的带子，给读写头的移动提供了无限的空间，更增加了循环的可能。 实际计算机没有无限长的带子，只有有限的内存，所以读写头左右移动这种能力带来的影响更致命：即使只有有限的空间，也可能陷入无限的循环。 然而很遗憾我的尝试只能到此为止了，现在的我还不能从本质上回答“为什么不停机”。根据我的理解，图灵机会不停机与哥德尔不完备定理有关。应该是图灵机这两种能力（左右移动，无限带子）让它足以蕴含皮亚诺算术公理，同时引入了既不能证明也不能证否的命题：碰到这种情况，图灵机就陷入循环了。希望自己将来能够摸清背后的本质，完整地回答为什么强大的图灵机会不停机？ 既然图灵机有这么大的缺陷，为什么图灵当初还要设计图灵机？这要从上个世纪初数学界的boss希尔伯特（David Hilbert）说起。1928年，希尔伯特在国际数学家大会上很乐观地预期，数学将在不久的将来建立在牢固的基础上，并提出关于一阶逻辑公式可满足性的判定问题（Entscheidungs Problem）。引用我以前写过的一段话： 希尔伯特计划把数学建立在一个完备的、一致的公理化系统之上。如果他成功了，这意味着： 一，所有的数学命题都能用符号无二义地表达出来； 二，所有的数学命题都能被证明或证伪（完备性）； 三，对任意数学命题P，如果P被证明，那么¬P必定能被证伪（一致性）。 四，如果最后再找到一个算法，能机械地判定一个数学命题的真伪（可判定性），那么整个数学大厦就是钢筋铁骨屹立不倒了。 结果事与愿违。 1931年，哥德尔（Kurt Gödel）发表了震惊数学界的哥德尔不完备定理，数学系统一致性和完备性的统一被打破。 1935-1936年间，图灵在剑桥大学国王学院研究希尔伯特判定问题。1936年5月，图灵完成论文《论可计算数及其在判定问题上的应用》（“On Computable Numbers， with an Application to the Entscheidungsproblem”），提出图灵机作为通用计算模型，并基于图灵机重新定义了可计算函数，同时给出了一个图灵机无法判定的问题，即停机问题。 1937-1938年间，图灵来到普林斯顿大学，在逻辑大神阿隆佐·邱奇的指导下继续研究可计算性问题，这一阶段他证明他的图灵机与邱奇的λ演算具有等价的计算能力，并将这个结果作为附录加到他的论文当中。而此前，哥德尔也提出了递归函数作为计算模型，不过同样不久后被证明与λ演算等价。

在这一期间，邱奇-图灵论题（Church-Turing Thesis）在邱奇、图灵与哥德尔三人的工作下成型，该论题认为所有可有效计算的函数或算法都可以由一台图灵机来执行。这是一个论题，而不是命题，因为“可有效计算”本身是一个不存在精确定义的概念。目前普遍认为邱奇-图灵论题是正确的，即所有人能想到的算法都能用图灵机执行。

图灵设计了一个能模拟所有计算的机器，然后证明这台机器也有缺陷，有它不可判定的问题，给希尔伯特的幻想以最后的致命一击，这便是图灵机的起源。毫无疑问，虽然没有直接参与图灵机的设计，但希尔伯特功不可没，因他提出的问题指引了其他数学家的工作。

图灵机给计算机的具体实现提供了参考价值，但它速度太慢，也很难编程。相比之下它更是数学家们的神兵利器：算法问题从此有了坚实的基础。但图灵机也给出了现在这个时代人的上限，而这个“人”还不是一般人，而是人类中思考的精英——数学家。

根据邱奇-图灵论题，图灵机能模拟所有机械的、有限步的计算，但仍然有图灵机不能识别的语言，它的诞生就是为了去证明它自己的缺陷„„这就是为什么说计算机是数学家一次思考失败的产物。