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解决几何变换的一般思路
图像几何变换又称为图像空间变换， 它将一幅图像中的坐标位置映射到另一幅图像中的新坐标位置． 我们学习几何变换的关键就是要确定这种空间映射关系， 以及映射过程中的变换参数。
几何变换不改变图像的像素值， 只是在图像平面上进行像素的重新安排。一个几何变换需要两部分运算：首先是空问变换所需的运算， 如平移、旋转和镜像等， 需要用它来表示输出图像与输入图像之间的〈像素〉映射关系：此外， 还需要使用灰度插值算法， 因为按照这种变换关系进行计算， 输出图像的像素可能被映射到输入图像的非整数坐标上。
主要有以下内容：
·图像的平移变换
·图像的镜像变换
·图像的转置变换
·图像的旋转变换
·图像的缩放
1、图像的平移变换
在进行书写matlab代码之前，先来了解一下图像平移的理论基础。设图像的高度为H，宽度为W，如下所示：
我们知道，图像是由像素组成的，而像素的集合就相当于一个二维的矩阵，每一个像素都有一个“位置”，也就是像素都有一个坐标。假设原来的像素的位置坐标为（x0，y0），经过平移量（△x，△y）后，坐标变为（x1，y1），如下所示：
用数学式子表示可以表示为：
x1 = x0 + △x，
y1 = y0 + △y；
用矩阵表示为：
本来使用二维矩阵就可以了的，但是为了适应像素、拓展适应性，这里使用三位的向量。
式子中，矩阵：
称为平移变换矩阵（因子），△x和△y为平移量。
此外，我们也知道了，图像的高度H其实也就是像素的行数，对于坐标1≤X≤H；图像的长度也就是像素的列数，对应坐标1≤Y≤W。
上面是理论基础，下面我们就用matlab实现一下图像的平移变换，相应的matlab代码如下所示：
close all ;
clear all ;
clc ;
im = imread（‘F:/图像处理/Koala.jpg’）;%读入一幅图
［H，W，Z］ = size（im）; % 获取图像大小，H为垂直方向768点，W为水平方向1024点
I=im2double（im）;%将图像类型转换成双精度
res = ones（H，W，Z）; % 构造结果矩阵。每个像素点默认初始化为1（白色）
delX = 50; % 平移量X
delY = 100; % 平移量Y
tras = ［1 0 delX; 0 1 delY; 0 0 1］; % 平移的变换矩阵
for x0 = 1 ： H%第1行到第768行
for y0 = 1 ： W%第1列到第1024列
temp = ［x0; y0; 1］;%将每一点的位置进行缓存，1行1列，1行2列···1行1024列
temp = tras * temp; % 根据算法进行，矩阵乘法：转换矩阵乘以原像素位置
x1 = temp（1， 1）;%新的像素x1位置，也就是新的行位置（从1~768）
y1 = temp（2， 1）;%新的像素y1位置，也就是新的列位置（从1~1024）
% 变换后的位置判断是否越界
if （x1 《= H） & （y1 《= W） & （x1 》= 1） & （y1 》= 1）%新的行位置要小于新的列位置
res（x1，y1，：）= I（x0，y0，：）;%进行图像平移，颜色赋值
end
end
end;
set（0，‘defaultFigurePosition’，［100，100，1000，500］）;%设置窗口大小
set（0，‘defaultFigureColor’，［1 1 1］）;%设置窗口颜色
figure;%打开一个窗口，用来显示（多幅）图像
subplot（1，2，1）， imshow（I），axis on ;%显示图片，一行两列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（res），axis on;%显示图片，一行两列，第二幅
我们先来看一下效果，然后着重分析一下代码，效果如下所示：
然后下面我们分析一下关键的代码：
读入图像之后，得到im，我们可以看到im是一个三维的变量，包括了像素的位置（高度（即垂直长度）和宽度（即水平长度）），像素的颜色。（注，24位真彩图：也是用矩阵表示，图像像素直接用RGB颜色显示，而不是通过颜色索引表。图像像素的颜色用三个变量表示即（R，G，B），每个变量从0~255变化，因此一个像素也就是8bit*3=24bit，一个像素用24bit表示可以有2^24种颜色。）我们可以看到会有unit8，就是8bit的原因。
然后我们获取图像的大小，用H，W，Z三个变量接收，其中H接收了图片的高度（也就是垂直长度），W接收了图片的宽度（水平长度），然后Z接收了图片的颜色值。
然后我们将图像转换成双精度类型I，这是因为使用双精度可以仿真在转换过程中发生精度损失的问题，也是方便我们进行转换。转换之后，我们可以看到unit8的类型别我们转换成了double类型。
接着，我们构造一个图像res矩阵，这个图像首先进行归一化，也就是让里面的元素全部为1，对于图像，就是一张白色的图片了。这个图像主要是用来“保存”我们进行位移后的图像。
然后我们就设置平移量、构造平移变换矩阵。这个矩阵我们根据前面的理论部分可以得到。
接着便是重点了，进行平移变换。我们来一句一句解读这个循环。当x0=1，y0=1时，得到第一个像素的位置，也就是（x0，y0）这个像素，然后将这个像素位置进行缓存，也就是构造一个矩阵temp，即理论中的：
然后进行位置转换，也就是进行矩阵相乘，用变换矩阵乘以原像素矩阵，得到了变换后像素矩阵：
接着，我们需要把变换后的像素位置“提取”出来，用x1，y1进行存储；为什么要获取位置呢？这是因为我们要判断这个像素是否越界了，也就是进行平移之后，得到的这个像素位置是否还存在显示区域里面，也就是我们的
if （x 《= H） & （y 《= W） & （x 》= 1） & （y 》= 1） 语句
当还在显示区域里面时，我们要进行移位显示：
res（x1，y1，：）= I（x0，y0，：）;%进行图像平移，颜色赋值
这个语句的含义是，把I中的RGB值（也就是颜色值）赋值给res，也就是说，前面矩阵相乘只是移动的像素位置，但是颜色没有进行移动，这里进行图像颜色的平移，当x0=1，y0=1时，把该点的位置图像颜色进行移动过去。
当x0=1，y0=2时，移动第二点。我们可以看到，这里的代码是：从左到右平移，也就是先进行宽度的平移；从上到下，进行高度的平移。当两个循环完成之后，图像也就像平移完成了。
最后的代码就是显示图像了，其中axis on 的意思是打开左边，方便我们进行查看平移后的位置。从上面的效果我们可以得到，delx表示的高度的平移量，delx为正值时往下平移，delx为负值时往上平移；而dely表示的宽度的平移量，正值往右平移，负值往左平移。
2、图像的镜像变换
图像的镜像变换分为水平镜像和垂直镜像，下面分别进行这两种镜像的介绍，首先说明一下，无论是水平镜像还是垂直镜像，镜像后高度和宽度都不变。
H图像的高度，关联x W：图像的宽度，关联y
·水平镜像操作：以原图像的垂直中轴线为中心，将图像分为左右两部分进行对称变换。示意图如下所示
水平镜像中，原图中的（x0，y0）经过水平镜像后，坐标变成了（x0，W-y0），用数学公式表达就是：
x1 = x0，
y1 = W-y0 ;
写成矩阵就是：
也就是说，水平镜像变换矩阵（因子）为：
用matlab代码实现如下所示：
代码已经没有什么好介绍的了，跟前面的平移差不多，只不过变换矩阵是水平镜像变化矩阵，得到的效果如下所示：a2
·垂直镜像操作：以原图像的水平中轴线为中心，将图像分为上下两部分进行对称变换。示意图如下所示：
垂直镜像中，原图中的（x0，y0）经过垂直镜像后，坐标变成了（H-x0，y0），用数学公式表达就是：
x1 = H - x0，
y1 = y0 ;
写成矩阵就是：
也就是说，垂直镜像变换矩阵（因子）为：
用matlab代码实现如下所示：
close all ;
clear all ;
clc ;
im = imread（‘F:/图像处理/Koala.jpg’）;%读入一幅图
［H，W，Z］ = size（im）; % 获取图像大小，H为垂直方向768点，W为水平方向1024点
I=im2double（im）;%将图像类型转换成双精度
res = ones（H，W，Z）; % 构造结果矩阵。每个像素点默认初始化为1（白色）
tras = ［-1 0 H; 0 1 0; 0 0 1］; % 垂直镜像的变换矩阵
for x0 = 1 ： H%第1行到第768行
for y0 = 1 ： W%第1列到第1024列
temp = ［x0; y0; 1］;%将每一点的位置进行缓存，1行1列，1行2列···1行1024列
temp = tras * temp; % 根据算法进行，矩阵乘法：转换矩阵乘以原像素位置
x1 = temp（1， 1）;%新的像素x1位置，也就是新的行位置（从1~768）
y1 = temp（2， 1）;%新的像素y1位置，也就是新的列位置（从1~1024）
% 变换后的位置判断是否越界
if （x1 《= H） & （y1 《= W） & （x1 》= 1） & （y1 》= 1）%新的行位置要小于新的列位置
res（x1，y1，：）= I（x0，y0，：）;%进行颜色赋值
end
end
end;
set（0，‘defaultFigurePosition’，［100，100，1000，500］）;%设置窗口大小
set（0，‘defaultFigureColor’，［1 1 1］）;%设置窗口颜色
figure;%打开一个窗口，用来显示（多幅）图像
subplot（1，2，1）， imshow（I），axis on ;%显示图片，一行两列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（res），axis on;%显示图片，一行两列，第二幅
代码实现的效果如下所示：
3、图像的转置变换
图像的转置就是将图像像素的x坐标和y坐标互换。这样将改变图像的高度和宽度，转置后图像的高度和宽度也将互换。
图像的转置用数学公式描述就是：
x1 = y0，
y1 = x0;
写出矩阵如下所示：
用matlab实现的代码如下所示：
close all ;
clear all ;
clc ;
im = imread（‘F:/图像处理/Koala.jpg’）;%读入一幅图
［H，W，Z］ = size（im）; % 获取图像大小，H为垂直方向768点，W为水平方向1024点
I=im2double（im）;%将图像类型转换成双精度
res = ones（H，W，Z）; % 构造结果矩阵。每个像素点默认初始化为1（白色）
tras = ［0 1 0; 1 0 0; 0 0 1］; % 转置的变换矩阵
for x0 = 1 ： H%第1行到第768行
for y0 = 1 ： W%第1列到第1024列
temp = ［x0; y0; 1］;%将每一点的位置进行缓存，1行1列，1行2列···1行1024列
temp = tras * temp; % 根据算法进行，矩阵乘法：转换矩阵乘以原像素位置
x1 = temp（1， 1）;%新的像素x1位置，也就是新的行位置（从1~768）
y1 = temp（2， 1）;%新的像素y1位置，也就是新的列位置（从1~1024）
% 变换后的位置判断是否越界
if （x1 《= H） & （y1 《= W） & （x1 》= 1） & （y1 》= 1）%新的行位置要小于新的列位置
res（x1，y1，：）= I（x0，y0，：）;%进行图像颜色赋值
end
end
end;
set（0，‘defaultFigurePosition’，［100，100，1000，500］）;%设置窗口大小
set（0，‘defaultFigureColor’，［1 1 1］）;%设置窗口颜色
figure;%打开一个窗口，用来显示（多幅）图像
subplot（1，2，1）， imshow（I），axis on ;%显示图片，一行两列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（res），axis on;%显示图片，一行两列，第二幅
实现的效果如下所示：
4、图像的旋转
一般情况下，旋转操作会有一个旋转中心，这个旋转中心一般为图像的中心，旋转之后图像的大小一般会发生改变。图像像素原来的坐标为（x0，y0），（顺时针）选择Θ角度后得到（x1，y1），用数学公式表达如下所示：
x1 = x0·cosΘ + y0·sinΘ，
y1 = -x0·sinΘ + y0·cosΘ；
用矩阵表示如下所示：
matlab中有直接实现图像旋转的函数，整理我们就直接使用图像的旋转函数，代码如下所示：
这里主要是说明一下imrotate函数，这个函数就是对图像旋转的函数，输入是图像和旋转的角度，角度为正值时，逆时针旋转；角度为负值时，顺时针选择。代码实现的效果如下所示：
5、图像的缩放
下面值来介绍一下图像的缩放主要是根据函数imresize来实现的，我们先来看看代码和效果图，然后分析图像的缩放函数。代码和效果图像所示：
close all ;
clear all ;
clc ;
［im，map］ = imread（‘Hydrangeas.bmp’）;%读入图片
im0 = imresize（im，0.26）;%进行缩放到原来的0.26倍
im1 = imresize（im，1）;%缩放原来的比例
im2 = imresize（im，3.5）;%进行缩放到原来的3.5倍
im3 = imresize（im，［64 40］）;%进行图像的缩放并设置图像的行列
im4 = imresize（im，1.6，‘bilinear’）;%进行线性插值实现缩放
im5 = imresize（im，1.6，‘triangle’）;
set（0，‘defaultFigurePosition’，［100，100，1000，500］）;%设置窗口大小
set（0，‘defaultFigureColor’，［1 1 1］）;%设置窗口颜色
figure;%打开一个窗口，用来显示（多幅）图像
subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%显示图片，一行两列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（im0，map）;%显示图片，一行两列，第二幅
figure;%打开一个窗口，用来显示（多幅）图像
subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%显示图片，一行两列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（im1，map）;%显示图片，一行两列，第二幅
figure;%打开一个窗口，用来显示（多幅）图像
subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%显示图片，一行两列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（im2，map）;%显示图片，一行两列，第二幅
figure;%打开一个窗口，用来显示（多幅）图像
subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%显示图片，一行两列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（im3，map）;%显示图片，一行两列，第二幅
figure;%打开一个窗口，用来显示（多幅）图像
subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%显示图片，一行两列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（im4，map）;%显示图片，一行两列，第二幅
figure;%打开一个窗口，用来显示（多幅）图像
subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%显示图片，一行两列，第一幅
subplot（1，2，2）， imshow（im5，map）;%显示图片，一行两列，第二幅
缩小：
等大：
放大
缩放并且设置行列：
线性插值：
下面介绍一下imresize函数的使用信息（可以通过在matlab 使用help imresize查看）：
该函数主要用来调整图像大小。
B = imresize（A，SCALE）返回一个图像，大小是原来的SCALE倍；A是灰度、RGB或者二进制图像。
B = imresize（A，［NUMROWS NUMCOLS］）调整图像大小，使其具有指定数量的行和列。 NUMROWS或NUMCOLS可能都是NaN，在这种情况下，将自动计算行数或列数，以便保留图像宽高比。
［Y，NEWMAP］ = imresize（X，MAP，SCALE）调整索引图像的大小，其中按照SCALE的倍数对原图像进行调整。
［Y，NEWMAP］ = imresize（X，MAP，［NUMROWS NUMCOLS］）调整索引图像的大小，通过调整行数和列数进行调整。
要控制imresize使用的插值方法，可以在上面的语法中添加一个METHOD参数，如下所示：
（A，SCALE，METHOD）
（A，［NUMROWS NUMCOLS］，METHOD），
imresize（X，MAP，M，METHOD）
imresize（X，MAP，［NUMROWS NUMCOLS］，METHOD）
METHOD可以是一个命名一般插值方法的字符串：
‘nearest’ - 最近邻插值
‘bilinear’ - 双线性插值
‘bicubic’ - 三次插值;默认方法
METHOD也可以是一个命名插值内核的字符串：
‘box’ - 用盒形内核插值
‘triangle’ - 三角形内核插值 （相当于“双线性”）
‘cubic’ - 用立方核插值 （相当于“bicubic”）
‘lanczos2’ - 用Lanczos-2内核插值
‘lanczos3’ - 插入Lanczos-3内核
最后，METHOD可以是{f，w}形式的双元素单元阵列，其中f是自定义内插内核的处理函数，w是自定义内核的宽度。在区间-w / 2 《= x 《w / 2之外，f（x）必须为零。可以使用标量或向量输入来调用处理函数f。
可以通过使用上述任何语法之后的参数/值对来实现对imresize的附加控制。例如：
B = imresize（A，SCALE，PARAM1，VALUE1，PARAM2，VALUE2，。..）
参数包括：
‘Antialiasing’- 真假指定缩小图像时是否执行抗锯齿。默认值取决于您选择的插值方法。对于‘nearest’ METHOD参数，默认值为false;对于所有其他方法，默认值为true。
‘Colormap’ - （仅与索引图像相关） ‘original’ 或 ‘optimized’;如果‘original’ ，则输出newmap与输入图相同。如果是“优化”，则会创建一个新的优化颜色映射。默认值为“optimized”。
‘Dither’ - （仅适用于索引图像）true或false; 指定是否执行颜色抖动。默认值为true。
‘Method’ - 如上所述
‘OutputSize’ - 一个双元素向量［MROWS NCOLS］， 指定输出大小。一个元素可以是NaN，在这种情况下，自动计算另一个值以保留图像的宽高比。
‘Scale’ - 一个标量或两元素向量，指定调整大小的比例因子。如果它是标量，则将相同的比例因子应用于每个维度。如果它是向量，它分别包含行和列尺寸的比例因子。
例子：
使用默认的双三次插值和抗混叠缩小两倍：
I = imread（‘rice.png’）;
J = imresize（I，0.5）;
figure，imshow（I）， figure，imshow（J）
使用最近邻内插收缩因子2。 （这是最快的方法，但质量最差）：
J2 = imresize（I，0.5，‘nearest’）;
调整索引图像的大小：
［X，map］ = imread（‘trees.tif’）;
［Y，newmap］ = imresize（X，map，0.5）;
imshow（Y，newmap）
调整RGB图像的大小以获得64行，自动计算列数：
RGB = imread（‘peppers.png’）;
RGB2 = imresize（RGB，［64 NaN］）;
图像的几何变化差不多就到这里了，matlab中有很多函数可以实现图像的几何变换，这里就不详细说明了。
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