7.3.1 空间曲线的切线与法平面
设空间曲线Г的参数方称为
x=φ(t)，y=ψ(t)，z=ω(t)，
这里假定上式的三个函数都可导。[插图1]
插图1
插图2
在曲线Г上取对应于t=t0的一点M（x0，y0，z0）。根据解析几何，可得曲线在点M处的切线方程为
。
切线的方向向量称为曲线的切向量。向量
T={φ'（t0），ψ'（t0），ω'（t0）}
就是曲线Г在点M处的一个切向量。
通过点而与切线垂直的平面称为曲线Г在点M处的法平面，它是通过点M（x0，y0，z0）而以T为法向量的平面，因此这法平面的方程为
φ'（t0）（x-x0）+ψ'（t0）（y-y0）+ω'（t0）（z-z0）= 0。
7.3.2 曲面的切平面与法线（插图2）
设曲面Σ由方程F（x,y,z）= 0给出，M（x0，y0，z0）是曲面Σ上的一点，并设函数F（x,y,z）的偏导数在该点连续且不同时为零。则根据解析几何，可得曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上。这个平面称为曲面Σ在点M的切平面。这切平面的方程是
Fx（x0，y0，z0）（x-x0）+Fy（x0，y0，z0）（y-y0）+Fz（x0，y0，z0）（z-z0）= 0
通过点M（x0，y0，z0）而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。法线方程是x=3
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量。向量
n = {Fx（x0，y0，z0），Fy（x0，y0，z0），Fz（x0，y0，z0）}
就是曲面Σ在点M处的一个法向量。
7.3.3 多元函数的极值
二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。
定理1（必要条件） 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：
fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。
定理2（充分条件） 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令
fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C，
则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：
（1）AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；
（2）AC-B2<0时没有极值；
（2）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下：
第一步 解方程组
fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，
求得一切实数解，即可求得一切驻点。
第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C。
第三步 定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。
7.3.4 条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数z = f(x,y)在附加条件φ(x,y) = 0下的可能极值点，可以先构成辅助函数
F（x,y）= f(x,y)+λφ(x,y) ，
其中λ为某一常数。求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程φ(x,y) = 0联立起来：
有这方程组解出x，y及λ，则其中x，y就是函数f(x,y)在附加条件φ(x,y) = 0下的可能极值点的坐标。
这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。
至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。