10.1.1 收敛级数的性质
性质一：若级数
收敛，a为任意常数，则
亦收敛，并且
=a。
性质二：若两个级数和
都收敛，则
也收敛，并且有
=+
。
性质三：一个收敛级数对其项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
注意：加括号后的级数为收敛时，不能断言原来未加括号的级数也收敛，即性质三的逆命题不成立。
例：
显然级数发散，加括号后成为(1+1)+(1+1)...显然结果为零。
性质四（收敛的必要条件）：若级数收敛，则
。
注意：此命题仅给出了级数收敛的必要条件而非充分条件。
例：1+1/2+1/2+1/3+1/3+1/3+...+1/n+...+1/n+...
它的一般项
，但级数是发散的。
10.1.2 正项级数的审敛法
正项级数的定义:各项都是正数或零的级数称为正项级数.
1.(比较审敛法):设
和
都是正项级数,且
(n=1,2,3,…).
若级数收敛,则级数收敛:反之,若级数发散,则级数发散.
推论1:设和都是正项级数,如果级数收敛,且存在自然数N,
使当
时有
(k>0)成立,则级数收敛;如果级数
发散,且当时有
(k>0)成立,则级数发散.
推论2:设是正项级数,如果有p>1,时
(n=1,2…),则级数
收敛;如果
(n=1,2,…),则级数发散.
2.(比值审敛法):若正项级数的后项与前项比值的极限等于
:
,
则当
时级数收敛; 
(或
)时级数发散;
时级数可能收敛也可能发散.
3.(根值审敛法):设为正项级数,如果它的一般项
的n次根的极限
等于:
,则当
时级数收敛, 
(或
)时级数发散, 
时级数可能收敛也可能发散.
交错级数的定义:各项是正负交错的级数称为交错级数.
10.1.3 交错级数的审敛法:
1.(莱布尼兹定理):如果交错级数
满足条件:
(1):
(n=1,2,3,…)
(2):
则级数收敛,且其和
,其余项
的绝对值
.